[2014년 안곡고]

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[1학년 2학기 기말]

[eqn: sqrt {{root {3} of {64}} over {sqrt {16}}} TIMES sqrt {{sqrt {81 ^{2}}} over {root {3} of {27 ^{2}}}}]의 값은? [3.7점]

⑤

① [eqn: root {2} of {2}]	② [eqn: root {4} of {3}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: log _{x+3} (-x ^{2} `-x+12)]이 정의되도록 하는 정수 [eqn: x]의 개수는?
[3.9점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

[eqn: 6log _{9} 8+2log _{3} sqrt {2} -4log _{{1} over {3}} 2]의 값은? [3.9점]

④

① [eqn: 8log _{ 2}3]	② [eqn: 10log _{2} 3]	③ [eqn: 12log _{2} 3]
④ [eqn: 14log _{3} 2]	⑤ [eqn: 16log _{3} 2]

[eqn: log _{3} {1} over {3} +log _{3} {3} over {5} +log _{3} {5} over {7} + CDOTS +log _{3} {241} over {243}]의 값은? [4.1점]

②

① [eqn: -27]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 9 ^{2log _{3} 2+8log _{9} sqrt {5} -3log _{3} 10`}]의 값은? [4.1점]

①

① [eqn: {1} over {100}]	② [eqn: {1} over {10}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 100]

[eqn: log3.65=a]일 때, [eqn: 365000 TIMES0.000365 TIMES36.5]의 상용로그의 값을 [eqn: a]로 나타낸 것은? [4.1점]

④

① [eqn: 3a-3]	② [eqn: 3a-2]	③ [eqn: 3a]
④ [eqn: 3a+2]	⑤ [eqn: 3a+3]

네 수 [eqn: 1over5], [eqn: x], [eqn: y], [eqn: -200]이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: x+y]의 값은? [4.3점]

③

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

자연수 [eqn: n]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]을
[eqn: a _{n} =(3 ^{n}을```10으로```나눈```나머지)]
로 정의할 때, [eqn: a_{ 369}]의 값은? [4.3점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

수열  [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{100} (a _{k} +1) ^{2} =300], [eqn: sum _{k=1} ^{100} (a _{k} +2) ^{2} =800`]
일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{100} a _{k}]의 값은? [4.5점]

①

① [eqn: 100]	② [eqn: 200]	③ [eqn: 300]

④ [eqn: 400]	⑤ [eqn: 500]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]에서 [eqn: a _{1} =-32], [eqn: a _{3} =-26]일 때, 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_{ n}]의 최솟값은? [4.5점]

⑤

① [eqn: -173]	② [eqn: -179]	③ [eqn: -181]
④ [eqn: -185]	⑤ [eqn: -187]

[eqn: sum _{k=4} ^{24} {1} over {(2k-1)(2k+1)} = {m} over {n}]일 때, [eqn: m+n]의 값은? (단, [eqn: m], [eqn: n]은 서로소인 자연수이다.) [4.5점]

③

① [eqn: 46]	② [eqn: 49]	③ [eqn: 52]

④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 58]

[eqn: 162^x`=81], [eqn: 6^y =3]을 만족시키는 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: {4} over {x} - {1} over {y}]의 값은? [4.7점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 243]

함수 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: f(4)=f(16)]를 만족하고, 그 그래프는 그림과 같다. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n)= sum _{k=1} ^{n} a _{k}]인 수열 [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]이 있다. [eqn: m]이 [eqn: 16]보다 작은 자연수일 때, [eqn: a _{m} +a _{m+1} + CDOTS +a _{16} <0]을 만족시키는 [eqn: m]의 최솟값은? [4.7점]

④

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

집합 [eqn: A= LEFT { (x,```log _{3} x)`|`x>0인```실수 RIGHT }]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.7점]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

③

ㄱ. [eqn: (a,```b) IN A]이면 [eqn: (9a,```b+2) IN A]

ㄴ. [eqn: LEFT ( {a} over {sqrt {3}} ,```b RIGHT ) IN A]이면 [eqn: LEFT ( a,```b- {1} over {2} RIGHT ) IN A]

ㄷ. [eqn: (a ^{2} ,```b) IN A]이면 [eqn: LEFT ( a,``` {1} over {2} b RIGHT ) IN A]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 2], 공비가 [eqn: - {1} over {2}]인 등비수열이다. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: {rmP} _{n}]의 좌표를 [eqn: (n,```a _{n} )], 점 [eqn: {rmQ} _{n}]의 좌표를 [eqn: (n,```0)]이라 하자. 삼각형 [eqn: {rmP} _{n} {rmQ} _{n} {rmQ} _{n+1}]의 넓이를 [eqn: A_{ n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{20} A _{n}]의 값은? [4.9점]

①

① [eqn: 2- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{19}]	② [eqn: 2- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{20}]	③ [eqn: 2- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{21}]

④ [eqn: {1} over {3} LEFT ( 2- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{19} RIGHT )]	⑤ [eqn: {1} over {3} LEFT ( 2- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{20} RIGHT )]

어떤 물질의 화학 반응에서 이 물질의 온도 [eqn: T]와 화합물이 생성되는 반응 속도 [eqn: v]사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

이 물질의 온도가 [eqn: 2T _{0}]일 때, 화합물이 생성되는 반응 속도는 [eqn: sqrt {10} v _{0}]이다. 이 물질의 온도가 [eqn: 4T _{0}]일 때, 화합물이 생성되는 반응 속도는? [4.9점]

[eqn: log {v} over {v _{0}} =K LEFT ( {1} over {T _{0}} - {1} over {T} RIGHT )] (단, [eqn: K], [eqn: T _{0}], [eqn: v _{0}]는 상수이다.)

②

① [eqn: root {3} of {100} v _{0}]	② [eqn: root {4} of {1000} v _{0}]	③ [eqn: 10v _{0}]

④ [eqn: 10 root {3} of {10} v _{0}]	⑤ [eqn: 10 sqrt {10} v _{0}]

다음의 세 조건을 모두 만족하는 이차함수 [eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c]라 할 때, [eqn: f(1)]의 값은? (단, [eqn: a>0]) [5.1점]

⑤

(가) 수열 [eqn: 1overa], [eqn: 1overb], [eqn: 1overc]은 등차수열

(나) 수열 [eqn: a], [eqn: c], [eqn: b]는 공비가 [eqn: r]인 등비수열 ([eqn: r != 1])

(다) [eqn: 0 LEQ x LEQ 2]에서 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 30]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

다음은 모든 자연수에 대하여
[eqn: 1 ^{3} +2 ^{3} +3 ^{3} + CDOTS +n ^{3} = LEFT { {n(n+1)} over {2} RIGHT } ^{2}]
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)], [eqn: g(k)], [eqn: h(k)]라 할 때, [eqn: f(2)+g(2)+h(2)]의 값은? [5.1점]

❶ [eqn: n=1]일 때, 주어진 등식에서
[eqn: (좌변)=1 ^{3} =1], [eqn: (우변)= LEFT ( {1cdot2} over {2} RIGHT ) =1]

따라서 [eqn: n=1]일 때 주어진 등식이 성립한다.

❷ [eqn: n=k]일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1 ^{3} +2 ^{3} +3 ^{3} + CDOTS +k ^{3} = LEFT { {k(k+1)} over {2} RIGHT } ^{2}] [eqn: cdots] ㉠

㉠의 양변에 [eqn: BOX{```(가)```}]을 더하면

[eqn: 1 ^{3} +2 ^{3} +3 ^{3} + CDOTS +k ^{3} + BOX{```(가)```}# ```````````````````````````````````````````````````````````= LEFT { {k(k+1)} over {2} RIGHT } ^{2} `+ BOX{```(가)```}# ```````````````````````````````````````````````````````````=box{`````(나)`````}]

따라서 [eqn: n= BOX{```(다)``}]일 때에도 주어진 등식은

성립한다.

❶, ❷에서 주어진 등식은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

⑤

① [eqn: 22]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 44]

④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 66]

서술형

제[eqn: 3]항이 [eqn: 55], 제[eqn: 10]항이 [eqn: 27]인 등차수열의 제[eqn: 10]항까지의 합을 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [6.0점]

[eqn: 450]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 [eqn: a_1 =3][eqn: a _{n+1} =a _{n} +2```(n=1,```2,```3,``` CDOTS )]으로 정의될 때, 일반항 [eqn: a _{n}]과 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} a _{k+1}]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: {1} over {3} n(4n ^{2} +18n+23)]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -4x+2=0]의 두 근이 [eqn: loga], [eqn: logb]일 때,
[eqn: log _{a} b+log _{b} a]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [6.0점]

[eqn: 6]

[2014년 안곡고]

[1학년 2학기 기말]

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